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学生在丰富多彩的数学活动中成为学习的主人。北京市怡海小学的数学课上，学生在教师的指导下开展小组合作学习。 本报记者 王鹰 摄
新课程背景下，教师转变为数学学习的引导者、组织者与合作者。
·让两类方法相容于课堂中
■孔企平
“自主、合作、探究”与“模仿、训练”的方法并不是对立的，它们之间是相互促进、相互支撑、相辅相成的关系。这两类方法在课堂中的相容与和谐，是促进学生全面发展的基本要求，也是素质教育主题下教学改革的重点之一。处理好两者的关系，对于创设和谐、大气的数学课堂，促进学生全面发展具有重要意义。
“自主、合作、探究”与“模仿、训练”相辅相成在数学课堂中，上述两类方法不是对立的，而是相容和依存的。学生既要发展思维能力，形成积极的情感体验，又要掌握一定的数学知识和技能，两类方法都是不可或缺的。学生的有效学习也有两种基本的方法，即接受性学习和探索性学习，这两种学习方式也不是对立的。没有良好的接受性学习，学生不可能进行有效的探索性学习，反之亦然。
在数学课堂中，教师只有把“自主、合作、探究”与“模仿、训练”这两种方法有机结合起来，才能更好地发挥在课堂中的组织和引导作用。模仿、训练在教学中体现为直接教学的方法。直接教学方法的目的是使学生尽快地掌握数学事实、规则和技能。教师在数学课堂中经常使用的直接教学方法是讲解、举例、练习、反馈、对话、纠正错误等。这些方法经常被用于日常复习，呈现新的内容，指导练习，反馈和纠正，课堂练习及课堂总结。自主、合作、探究体现了课堂中间接教学的方法，教师运用这些方法引导学生自主地探索与解决数学问题，教师的作用是尽可能引导学生去探索和发现。在数学课堂中这两种方法是相辅相成的。不可想象，如果没有其中的一种方法，课堂教学会很好地进行。课堂教学的过程就是直接教学与间接教学两类方法有机结合的过程。
研究自主、合作、探究的教学方法，提高活动有效性义务教育阶段数学课程标准提倡自主、合作、探究学习，具有重要的现实意义。目前大力研究和推进这些方法，依然是数学课堂教学改革中的一个重要任务。在数学课堂中，实际上还存在两类方法不平衡的情况。新课程理念指导下的数学课堂教学改革已经取得了很大的进展，数学教师的理念和行为均有不同程度的提高，但一些数学课堂上还存在许多值得研究和改善的问题。例如，在一些课堂中存在的“满堂灌”、“满堂问”、“题海战术”、“形式主义的活动安排”等教学行为和现象。
实际上，在我国的数学课堂中，教师给学生的自主、合作、探索的机会还不够。有些数学课堂中的活动安排并不符合学生的实际需要，大力研究自主、合作、探究的学习方式仍然是数学课堂的重要的任务。自主、合作、探究的学习在数学教学中有着其他学习方式无法代替的优势，它可以让学生在探究数学问题的活动中全面经历数学知识的形成过程，了解所学知识是怎么得来的。在自主、合作、探究活动中，学生还可以经历发现问题、分析问题和解决问题的过程，有助于培养学生提出问题和解决问题的意识和能力，也有利于学生学习能力的发展。
我们也要看到，自主、合作、探究的方法也有其自身的局限性，受数学学习内容和学生认知水平的局限，特别是那些难度特别大的全新数学知识，单靠学生的探究有时是难以解决的。因此，教师要在教学中创设合适的探索点，让学生经历充分的探索活动，获得必要的数学活动经历。在研究过程中，不断提高自主、合作、探究活动的有效性，这也是教师在新课程背景下专业发展的重要途径。同时，教师在教学中要把两类方法有机结合起来，既要鼓励学生自主发现问题和解决问题，同时又要对学生的活动过程给予必要的指导和帮助，帮助学生掌握必要的知识和技能。
改善模仿、训练方法的质量，提倡互动式指导毫无疑问，模仿、训练等接受性学习方法在数学教学中具有重要意义。大量研究表明，模仿、训练和教师的讲授不一定要与被动学习画上等号。通过模仿、训练也能够提升学生的学习积极性和主动性。我国传统教学一向提倡的启发式教学，就是让学生能够主动地、积极地接受知识。要做到这一点，基本条件是教师要进行互动式指导，即针对学生的学习需要进行有针对性的指导。数学课堂中的讲授要针对学生的困惑，练习要练在点子上，要坚决反对题海战术。
心理学家奥苏伯尔认为，接受性学习不等于被动学习。只要处理得当，接受性学习也能成为有意义的学习。在数学教学中，有意义的接受性学习是学生学习数学的一种常用而有效的方式。教师要大力改善课堂讲授、模仿、训练方法的质量，提倡互动式指导，要让学生具有主动接受数学知识的心理倾向，学生头脑里要具有联系新数学内容的知识经验，把数学训练和数学理解有机结合起来。一句话，教师的指导要针对学生的需要，只有针对学生的需要，才能真正与学生开展互动。
正确认识“自主、合作、探究”与“模仿、训练”之间的关系，目的在于建立健康的数学课堂。在和谐的数学课堂中，要建立多样化的数学学习方式，以促进学生的有效学习。要建立和谐的师生关系，让学生在丰富多彩的数学学习活动中成为学习的主人，教师要发挥教学的主导作用，成为数学学习的引导者、组织者和合作者，师生双方积极地开展对话和互动，在课堂这个学习共同体中共同发展。无论使用自主、合作、探究还是模仿、训练的方法，教师都应该关注并发挥学生在数学学习上的主体作用，避免学生被动地学习。（作者为华东师范大学课程与教学系教授，博士生导师）
·训练也是学习（图）
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本报记者 高海涛 摄
■任景业
竖式除法是学生学习运算中的一个难点。余数问题、商的数位问题、单位问题等类似错误常常出现在学生的作业中。表面看这些错误各不相同，细细分析会发现，这些错误的根源在于不理解竖式算法的意义。有研究发现，学生虽然会用竖式计算，但６５％的学生不明白竖式除法为什么从高位算起，５１％的学生不清楚竖式除法的算理。这种情况下，提高学生的运算能力，就不能只是让学生反复操练。
训练是提高计算能力的技术手段，但并不一定是科学手段。教师应当改进教学，关注学生的已有经验，关注学生的困惑，在此基础上设计教学。寻“根”究“理”，让学生真正参与到知识的探索中。
情境设计，让学生钟情练习
将学习中的模仿、训练转化为学生的内在需要，是我们教学设计的追求。
有这样一道题：“地球赤道周长４万千米，设想用铁丝沿赤道扎紧，然后把铁丝接长１０米，问铁丝和地面之间能出现多大空隙？”这道题对学生来说是很有趣的。但怎样让学生对题目“一见钟情”呢？有位教师作了如下改进：
地球的环境日益恶化。地球大吼：“我受不了啦，我快要爆裂啦！”玉皇大帝听到后很着急，心想：要是地球真的爆裂了，那全部生灵就会被毁灭。于是他决定沿地球的赤道加一道铁箍，以防地球爆裂。可是地球却直喊：“太紧了，我喘不过气。”玉皇大帝只好把铁箍松了一下，使得它处处离地球１米。可是松一下，铁丝不够长了，需要再加一段，请你帮玉皇大帝算一下需要加多长的一段铁箍？
这样的题目有故事情境，符合小学生的心理，能很好地调动学生的参与愿望。研究发现，进行情境问题测试的学生，其成绩和个体情感的投入都优于进行传统题目测试的学生。在之后的问卷调查中，进行情境问题测试的学生有９４．７％选择“以后还希望再做这样的测试”。而进行传统题目测试的学生选择该项的只有２２．５％。这就要求教师改进学习内容和形式，尽量避免重复，多让学生主动创造而减少灌输。“凡是能传给他人的，一定是可以重复的，而可以被他人重复的则一定不具有创造性。”这启发我们，为了增加学生的主动性，除了教学方式、教学方法方面的改进外，还需要结合学生的现实背景，设计现实的、有意义的、富有挑战性的情境性问题，避免训练中的简单重复。
适时点拨，增强练习实效性
练习要让学生明了目的，不能盲目。练习中，需要教师及时分析学生的错误成因，适时介入，并根据学生的不同情况安排有针对性的练习。
有一道找规律题目如下： ２０００，４００，８０，（ ）。有个学生说：“前面的数除以５，就得到后面的数，所以８０÷５就可以得到答案１６。”另一个学生说：“老师，我算出的答案也是１６。可是，我找的规律跟他们的不一样。我是这样算的：２０００＋２０００＝４０００，去掉一个０，就是４００。４００＋４００＝８００，去掉一个０就是８０。８０＋８０＝１６０，去掉一个０就是１６。所以，最后一个数是１６。”
这个学生的规律，其他学生是不是听懂了？他与别人的规律是不是真的不一样？如果不一样，有什么联系和不同？教师在这儿引导其他学生探讨这个学生的算法，是非常自然而必要的。
这个学生用到的“加法”是第一级运算，运算程度最低，也最简易，在说到除时，用到的是动作“去掉０”，而不是“除以１０”，表达很通俗，且形象、生动。而其他同学运用的是第二级运算“除法”，方法相对抽象。对这两种思路的对比分析在这一节课中非常重要。
跟上时代，不做超标练习
在计算教学的问题上，一直有人批评课改过了头。诚然，素质教育并不排斥计算上的高技能，但是，计算技能需要高到哪种程度，则是需要画个问号的。
两位数的除法在教学中是重点，而瑞典教材是不作要求的。像４４８÷３２，他们只要求学生能估算４４８÷３０就可以了，不要求笔算。２００８年，我们与瑞典教育代表团交流时，瑞典教育代表团团长多丽丝教授反问我们：“时间很宝贵，长大以后这些题目都可以用计算器去解决，你们为什么要花费这么多的时间用于计算？”这个问题促使我们不得不思考：我们让孩子花费这么多的时间，究竟有什么价值？为什么我们让学生做超出课标要求的大量练习？而我们的课标本来就远超出国际一般要求。
有位教师说：“有一道题：桃树２３棵，杨树是它的３倍少６，桃树、杨树一共多少棵？我讲解了好几回，学生都是２３×３－６。你说如何讲学生才会接受？他们都不知道要再加上桃树的数目。”原因何在？由“生活经验解决”到“数学符号表征”是一大跨越，学生不会用一个式子把“桃树、杨树一共多少棵”表示出来，这不能怪学生。列综合算式对于四年级的学生来说，还是太难了。我们的课标和教材是不要求学生列综合算式的，而我们平时的教学还在远超“英美”的高度上再次拔高。
训练是学习的过程，而非学习中的某个环节，从这个意义上说，训练即学习，而不是重复。学习不是传输的过程，也不是接受的过程，学习是个需要建立联系、需要自觉建构实践的过程，离开学生的参与，训练就成为复制的过程。由此，我们需要加强教师在学生练习中的指导作用，使练习走向科学。（作者为山东省茌平县杜郎口中学教师） |
·在自主合作探究中生成智慧与人格
■潘小明
【教学案例】
数学课上，我发给每个学生一张印有平行四边形的纸，问：“你有办法算出纸上平行四边形的面积吗？”学生带着问题，用了7-8分钟的时间寻找答案。结果出现了许多不同的算法：7×4=28（平方厘米）；7×5=35（平方厘米）；（7＋5）×2=24（平方厘米）……
接着，学生小组讨论，由小组代表进行组间交流。面积28平方厘米是平行四边形的底和高相乘得到的，一个小组代表边把平行四边形拼接成长方形，边说着面积等于底乘以高的理由。面积35平方厘米是用平行四边形相邻两边相乘得到的，另一个小组的代表说：“我们也是把平行四边形转化成长方形的，长方形的长是7厘米，宽是5厘米，面积应该是35平方厘米！”一石激起千层浪，学生有的点头赞同，有的一脸疑惑，出现了小声的议论。我也说：“是呀，他们也是把平行四边形转化成长方形，面积35平方厘米当然也应该是正确的。”我这么一说，教室一下子安静下来。有个学生质疑：“同样的一个平行四边形，它的面积怎么会不同？”渐渐地，越来越多的学生举手发表意见，纠正错误。有的学生还发现：当把平行四边形拉转成长方形时，面积是最大的。而且，长方形是特殊的平行四边形。在学生们的讨论中，下课铃响。
借此案例，笔者想谈谈近阶段对小学数学课堂教学的一些思考。
怎样使基础知识学得更扎实
扎实的“双基”教学是我国的优良传统，有些教师担心新课程实施会削弱“双基”。如上述课堂片断后的教研中，就有老师问：“几乎用整节课的时间探究公式，没有习题训练，学生能行吗？”
应对考试的课我也上过：出示用硬纸片剪成的平行四边形，让学生指出底和高；沿着高把平行四边形剪开拼成长方形，让学生模仿操作；然后引导学生观察比较，推导出面积计算公式。讲授大约用时10分钟，余下的时间便用来做练习。
压缩新知获得的过程，进行大量的习题训练，这样的教学会使基础知识扎实吗？我不以为然。事实上，学生对问题有自己的想法，而且各不相同。对于学生片面的、错误的想法，仅凭教师示范讲解，往往不奏效，学生没有真正明白错在哪里，即使接受了正确的观点，错误的想法仍然潜伏，没有得到删除或更正。因此，要让学生学得扎实，就要调动起学生的已有知识经验，用自己的思维方式尝试解决问题。在不同想法的碰撞中，错误的想法被替代，正确的知识牢牢地扎根于学生的脑海之中。
怎样有效渗透数学思想方法
数学思想方法比具体数学知识更为重要，这已经成为广大教师的共识。然而，如何有效地渗透数学思想方法？教学平行四边形面积时，我也曾设计通过割补转化算出不规则图形的面积，学生也确实受此影响，没有其他的想法，轻而易举地把平行四边形割补成长方形。但后来，我坚决摒弃了这样的做法，上课伊始就让学生直面问题，激活已知、探究新知。出乎意料的是，有的学生不用割补也能将平行四边形转化成长方形，得到面积计算公式。于是，矛盾冲突产生了，经过激烈的思维碰撞，学生对转化思想有了更加深刻的理解：转化过程中，图形面积必须始终保持不变。我想，知识是可以通过传授来接受的，而学习思想的最好办法是亲身实践。只有亲身实践了，才会有深切的体悟。
怎样使每个学生得到充分发展
目前，存在着这样一种说法：自主、合作、探究往往会造成班级学生的两极分化。分化现象确实存在，但我认为不能以此否定自主合作、探究的学习方式。教学不是要消灭学生之间的差异，而是要实现学生充分的、有差异的发展。这种发展不仅包括认知水平，还包括过程与方法、情感态度与价值观方面的发展。若真要防止分化，最直接有效的方法是教师讲解示范，学生模仿、接受训练。然而，这种生产“标准件”的教学能批量传授知识，却难以发展学生的个性，难以培养学生的创新意识和创造能力，因为创造需要自由的探索和足够的试错空间，需要创造的欲望和创造性思维。面对有差异的学生，为了实现差异的发展，必须进行开放的、自主探究的学习。就像教学平行四边形面积那样，创设情境、开放空间、主动参与、合作交流、各有所得。平行四边形面积的计算、数学的割补转化思想、数学的逻辑推理、公式间的内在联系、敢于探究的精神、同伴的合作交流、积极的情感体验，等等，学生得到不同而又充分的发展，这就是我一直坚持的“保底而不封顶”。
数学的课堂是师生智慧和人格生成最为活跃的场所，而自主、合作、探究的学习方式能够使数学课堂散发出永久的魅力。（作者为上海市宝山区第一中心小学校长，特级教师）
·模仿与探究是教学多渠道中的两条
■仲海峰
两个教学案例的对比
关于五年级“小数乘法”教学，两位教师设计了如下教学流程。
甲 1．根据“34×12＝408”直接写出下面算式的结果：34×120，340×12，34×1200，34×1.2。
2.独立探究34×1.2的笔算方法。
3.合作交流，对多种方法进行比较与优化，对错误进行归因分析。
4.通过几道练习理解计算法则。
乙 1．宣布学习内容和学习目标。
2．学生独立尝试笔算：34×1.2。
3．请学生讲解、示范正确的解题并纠正错误的解题过程。
4．大量地练习反馈，掌握计算方法。
甲教师教学时尽量由学生自己分析、比较得出结论。乙教师教学时不忌讳直接讲解甚至直接告知学生结论。甲教师教学伊始让学生独立思考、自主探究，目的是充分暴露学生的知识基础、多样的解题方法甚至错误的解题思路，为后续教学找到起点和抓手。课堂走的是一条由“外围”到“中心”，由“错误”逼近“正确”的证否之路。乙教师教学伊始让学生独立思考，目的是为了从学生中找到正确、规范的做法，从而使得后续教学由“教师讲授”变成“学生教给”。课堂走的是一条从“法则”到“法则”，用“正确”审视“错误”的证实之路。甲教师的课堂时间主要用于两个部分：一是作为学习主体的每个学生独立地观察、尝试、猜测、验证、推理、交流；二是师生、生生间围绕学习目标多向互动。课堂中，学生除了习得乘法的计算法则“是什么”与“为什么”外，还获得了一种丰富的过程体验。乙教师的课堂时间，一方面用于讲解法则和示范标准的计算程序，另一方面用于大量的、反复的练习、反馈、纠错。课堂中，学生习得的仅仅是计算的程序和熟练的计算技能。
应该说，两位教师的设计看似相近，实则迥异。甲教师体现的是以自主、合作、探究、建构为主要学习方式的现代教学方式，乙教师体现的是以讲授、模仿、训练、强化为主要学习方式的传统教学方式。
日常教学摇摆于两极之间
对于以合作、探究、自主建构为主要学习方式的间接教学法和以讲授、模仿、训练、强化为主要学习方式的直接教学法，从感情上讲，我们一线教师更推崇前者。这不仅是因为其是新课程改革所倡导的理念，更是因为我们真切地感受到了这种学习方式给学生的数学能力和数学素养等方面带来的巨大变化。
然而，我们又不得不面对这样的现实：除了公开课外，平常教学时许多教师主要采用的还是“模仿+训练”的教学方式。众多与教师们缄默的个人哲学或吻合、或冲突的希望、要求、指令、压力时时刻刻左右着他们的行为，时常弄得他们晕头转向、不知所措，以致在课堂上常常上演口是“探究”心是“模仿”、为了“合作”而“合作”之类的闹剧。
在模仿的大树上嫁接探究嫩芽
事实表明，大多数教师还不太能适应另起炉灶、推掉重来式的教学改革，改革对教师而言更多地意味着对传统的改造、改进甚至微调。
这就要求我们对传统教学的不足有较为全面深刻的理解。课改以来，对以“模仿+训练”为主要教学方式的传统教学的批评可谓铺天盖地，其中引起教师广泛共鸣的主要有三点：
一是模仿式的学习方式直接指向结果，忽略了数学知识的来龙去脉，以致学习被简化成无需动脑也无从动脑的输入接受、刺激反应。学习者往往没时间，也没有意识对所学新知与已有知识进行整合，知识大都体现为零散的碎片。
二是训练式的学习方式不关注学习者的感受和身心发展规律，教学常常体现为一厢情愿的生拉硬拽、强灌硬塞。被训练者在获取知识的同时付出了身心受损的代价。
三是真正的数学学习除了知识的积累外，还包括数学思想方法的领悟，数学活动经验的获得以及情感、态度、价值观的培养。“模仿+训练”式的学习方式是只顾其一，不及其余。
针对传统教学的弱点，融合“自主、探究、合作”等新理念的做法，笔者认为，在今后教学中我们应关注以下几个关键词：
参与。在讲解、传授之前注意用情境、设疑等手段激发学生的学习动机，使学生成为学习的参与者。
体验。在讲解、示范时注意细化甚至重复演示步骤，必要时让所有学生边模仿边亲手操作，以获得体悟。
主动。允许学生随时发问，并给予及时解答。
结构。在一定量的模仿、训练后要进行提升与数学化，使新知识与学生已有认知相连，成为学生数学结构的一部分。
思想。提供与新知识相关的数学史料，与学生一起体会其中的数学思想、数学精神。
训练。有研究表明，讲解、提示在学生准确率达到80%以前是有效的，过了这个百分点就要通过练习与训练来实现了。在进行训练时，我们不光要注意题材的新鲜、有趣，题型的新颖、活泼，题目内容、难度的多变，还要注意一定量的练习。练习量是很讲究的，练习少了，学生对知识的掌握达不到火候，就无法熟能生巧，给后续学习埋下了障碍。相反，练习过了，解题蜕变成简单的回忆与模仿，这时“熟”就生“懒”了。（作者为江苏省海安县实验小学教师）
《中国教育报》２００９年２月２７日 |