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错误，是学生数学学习过程中出现的正常现象。新课程背景下，面对差错，我们需要——
开启从错误中学习的新视角
如何面对学生的学习错误？这是个值得研究的问题。本报记者 齐林泉 摄
江苏省无锡市扬名中心小学在低年级数学教学中，积极引导学生在尝试、纠错与改进的过程中，亲身经历知识的形成过程。张浩 摄
在对抗错误中获得发展
■吴卫东
错误在学习中普遍存在
错误并不仅仅出现在学习活动中。一般而言，人们是在认识论的范畴中讨论“错误”，把它与“真理”作为相对的概念提出的，认为“错误”就是与客观实际不相符合的认识。
但是，当人们讨论学校学习活动中的“错误”时，错误的概念发生了变化。人们认为错误是学生在学习过程中所产生的各种不同于“标准观念”或“标准答案”的想法或做法。与认识论的“错误”概念比较，变化如下：
其一，错误往往被教师理解为学习活动的结果不符合教学要求。如在一堂“分数、小数加减混合运算的简便计算”课中，教师要求学生在算式“0.38+（ ）-7/5”的括号中填上合适的数，使得计算比较简便，并计算出算式的结果。学生提出填上1.62，使得加法运算的结果为2，但教师却认为这一填法不正确。在这一练习中，教师简便计算的“标准观念”并不只是一级运算，无论学生填写1.62或7/5都不符合教师的“标准观念”。教师希望学生考虑简便的二级运算，最佳的运算结果是0。且不论教师对简便计算的“标准观念”是否真的标准，从这一教学现象中我们不难发现，学生学习结果的错误往往是指不符合教师预设的教学要求。衡量的标准从“客观实际”变为“教学要求”，被赋予了更强的人为色彩。
其二，这种学习结果不仅包括认识（观念），也包括行为（做法）。数学学习过程中的“做法”通常指的是技能，包括计算技能与解决问题的技能。因为它不会直接对现实生活造成伤害，因此，学习过程中的错误既被理解为“观念”，又被理解为“做法”。这两者在学习过程中是紧密联系在一起的。教师可以通过学习过程中错误的“做法”去折射学习者错误的“观念”。
在数学学习中，学生的错误是普遍的。我们可以毫不夸张地说，每一位数学学习者在数学学习活动中都发生过错误。个体正是通过对抗数学学习中的错误，丰富了自身的认识经验，从而获得发展的。
数学学习中的错误更是必然的。首先，数学活动是一种包含有猜测、错误与尝试，证明与反驳，检验与改进的复杂过程。因此，学生在经历这一数学活动过程时产生错误在所难免。其次，数学研究的对象是对现实生活理想化的抽象，许多在现实生活中有原型的数学概念，学生很难区分其与生活概念的差异，因为处于具体形象思维阶段的学生会出现认知不足，进而产生错误观念。例如，学生在理解三角形高的概念时，由于在日常用语中“垂线”只指铅垂位置，所以学生很难理解其他位置的高，更难把握三角形的外高。正是由于这些学习错误具有普遍性与必然性，它们的产生也是有理由、有规律可循的。因此，在建构主义看来，错误的产生具有合理性。有学者认为，从学习者身上观察到的一系列错误表明，错误不是教给的，而是学习者构造了自己特有的概念与程式造成的。
错误的价值与有价值的错误
在学生的学习过程中，正确有可能是一种模仿，而错误却大凡是一种经历。因为许多错误是学习者在主动构建知识时形成的。在教育活动中，错误是重要的教育资源。
首先，错误的教育价值在于它展现了学生的思维历程。“在数学学习活动中，错误表征着学生思想的航行，活动的展开。错误可能意味着学生一次观念的冒险、体验的丰富、超越的契机。”有一个学生提出了这样的疑惑：认识三角形内角和时，我们是通过把长方形沿着对角线一分为二，已知长方形的内角和是360度，一分为二得出直角三角形的内角和就是180度。那么把一个等腰三角形沿着高一分为二，小的直角三角形的内角和为什么不能是90度呢？尽管学生通过类比推演得出小三角形内角和的结论是错误的，但是，学生在错误经历中的思考与质疑却是难能可贵的。
其次，错误可以使理解和记忆更加深刻。学生经历错误后，如果教师通过展示学生的错误，辩论错误观点，纠正错误过程，那么，学生会对自身的错误理解得更深刻、记忆得更牢固。因为在错误经历中，学生获得了在平坦的大路上难以见到的景致，也许正是学生经历了一次次错误的探险，感受到心理的挫折、惊喜与顿悟，才从中获得了质疑、反思与多向思维的创新品质。
再其次，它折射了学生数学学习的难点问题。学生在数学学习活动中难以理解、难以把握的内容往往成为教学的难点。学生在学习中的错误正是学习难点的折射。当然，并不是学生所有的错误都折射了数学学习的难点，在教师的教学设计中也无法关注每一个学生的错误，这必然引发对有价值错误的思考。
我们认为，那些具有规律性的、合理的错误具有教育价值，因为它们具有普遍性，多数学生会遭遇。那些经过思维运演的错误有教育价值，因为它们可以促进学生的理解，强化学生的记忆，并能产生许多非认知的教育价值。
教师对待错误的三重境界
“从错误中学习”并不是每一位教师都认同的教学原则，错误资源在不同教师的课堂上发挥的教育价值，也因教师对待错误的态度不同而存在差异。我们把教师对待错误的态度分成三重境界。
第一重境界是教师害怕、拒绝错误。他们认为学生的学习错误是自身教学缺失的标志，尤其在公开课上，不符合标准答案的观点会被教师们漠视，他们或对学生的错误采取“失聪”、“失明”的做法，或用优生的学习成果掩盖其他学生的学习错误，因为他们对标准答案已经产生了思维定式与心理期待，对课堂中生成的非预设的学习成果缺乏评价能力。
第二重境界是教师把学生的学习错误作为有价值的教学资源加以利用。或通过展示错误过程，辩论错误观点提升认识；或故布陷阱，让学生深陷其中而得出显而易见的错误，从中恍然大悟地得出正确结论。
第三重境界是教师不仅让学生经历纠错的过程，形成正确的观念与做法，更重要的是让学生反思自身的错误，进而升华为错误观的教育。浙江省特级教师俞正强老师就曾有一堂经典的进行错误观教育的“小数四则运算”练习课。整节课一气呵成，让学生经历了“感受研究错误的必要性——小数四则运算的错误类型——小数四则运算错误的归因分析——小数四则运算的干预策略——对错误观的认识”这一完整的反思错误的过程。首先，他在课前让学生计算了20道小数四则混合运算题，然后在课堂上让学生们评价自己的作业，并公布了全班学生的错误率，从而让学生了解小数四则混合运算错误的普遍性，体会到研究学习错误的必要性。然后，教师展示学生的典型错误，让他们依据自身的理解把错误分类，并让产生错误的学生分析原因。许多学生简单地归因为粗心、马虎、不认真。他就耐心地引导学生，提出任何数学学习的错误总有知识的缺陷或技能的不足，只有这样的归因分析才能正确认识并纠正错误。他让学生对那些有错误的同学提出纠错的建议，并进而拓展到对错误观的认识。让学生理解犯错误是难免的，学生的错误不等于错误的学生。但是，人不能两次犯同样的错误，学习如此，未来的生活也如此。
学生的学习错误是生成性的教育资源，教师只有放宽心态，理性分析，智慧地把握，才能使错误资源发挥真正的教育价值。（作者为浙江教育学院教授） |
教师须树立错误资源观
■高枝国
人们常说“垃圾是放错了地方的宝贝”，如果我们能用这样的眼光来看待数学教学中的错误，那会是一种怎样的境界呢？
正视错误，树立“错误资源”意识
学生的学习是和错误相伴的过程，错误反射出学生的学习困难所在，反映出学生思维的认知发展水平、行为习惯以及意志品质状态，这不但可以帮助学生正确认识自己，找到努力的目标和方向，同时也可以帮助教师从学生的错误中分析、了解他们的学习状况，以便对症下药，有针对性地选择有效的教育教学策略和方法，进而改进和完善自己的教学。
教师要为学生营造一个安全的心理环境，表现出能够尊重、愿意接纳学生的想法、做法，欣赏他们主动表达自己思考的行为和勇气，让他们敢于在课堂上暴露自己的真实想法和思考。教师要让学生明白，学习就是在不断出错、纠错中进行的。错误并不可怕，怕的是失去面对错误的勇气，失去尝试、探索的机会。学生只有真正明白自己的问题，改正错误，才能把要学习的知识和能力内化为个人的发展。
有时，学生的错误并不是来自知识本身，而是来自他们发展尚不成熟的个性特点、行为习惯。教师要善于从儿童好奇心强、活泼好动、注意力不易集中、行为习惯尚不稳定等生理和心理特点出发理解他们，宽容地对待由此产生的问题或错误，要引导他们自己去认识问题，改正错误，帮助他们逐步养成良好的行为习惯、学习习惯以及意志品质。
其实，课堂上不只是学生会犯错，教师也会偶尔“马失前蹄”。这就要求教师敢于直面自己的错误，勇敢地把错误当作师生共同研究的“靶子”，转化为新的教学资源。英国心理学家贝恩布里说：“差错人皆有之，作为教师，对学生的错误不加以利用是不可原谅的。”同样，作为教师，如果不能对自己的错误加以利用，也是不可原谅的。
另外，教学中教师不能怕学生出错而忽视或回避不同的声音，并通过降低问题的思维含量而使教学“顺利”地进行。教师要给学生表达不同意见的机会，正是在不同意见的碰撞中才会凸显问题的内在价值，使知识和能力在激辩和交锋中得以内化和提升，这种思维碰撞产生出的错误同样闪烁着智慧的火花，恰当选择、灵活处理就会使之成为宝贵的教学资源。
捕捉错误，恰当选择“错误资源”
错误，不管是来自学生，还是来自教师，都是很珍贵的课程资源。我们要善于发现、认真分析，并根据不同成因而区别对待。比如对于个别学生因为学习习惯而产生的问题，可以单独处理，典型的问题也可以对其他学生进行提醒，防患于未然。对于共性的知识层面的错误要及时地向全体学生指出，引起学生注意，达到巩固强化的目的。对于有思维价值或对进一步学习新知有帮助的错误，要善于及时捕捉，并分析错误成因，引导学生共同解决。教师不仅要提高捕捉错误的能力，同时还要提高判断错误价值的能力，从而恰当选择错误资源，挖掘其可生长点并有效利用，激活学生思维，提高教学效率。
错误之所以是一种资源，其价值有时并不在于错误本身，而在于师生通过集体查错、析错、纠错活动，通过分析、综合、抽象、概括等思维活动，去伪存真，将感性认识逐步上升到理性认识，从而领会和掌握内隐的数学规律及本质。
捕捉有价值的错误资源并恰当地处理，有很强的艺术性。处理得好，可以让学生从错误中悟出新意，举一反三，触类旁通，进而感受到探索问题的乐趣。
预设错误，诱发“错误资源”
建构主义学习观认为，学生的错误不可能单独依靠正面示范和反复练习得以纠正，必须经过一个自我否定的过程，而自我否定又以自我反省，特别是内在的观念冲突作为必要的前提。
课堂上学生出现的错误，有些是教师能够预料到的。教师通过认真钻研教材，根据学生发生错误的规律，凭借以往的教学经验，可以事先预测出学生学习某个知识点时可能发生的错误，还可以有意搜集或编制一些学生易犯而又意识不到错误的问题加以预设，主动诱发错误，使学生的思维产生错与对之间的交叉冲突和悬念，促进学生积极主动地去思考、质疑、辨析、发现，找出致误原因，使学生加深对数学知识的深刻理解，最终不再犯类似的错误，消除数学学习中的隐患。
但我们也应该注意到，当利用学生的错误资源进行教学时，一定要考虑到学生的感受，不能给他们带来影响自尊和自信的心理压力。同时，面对课堂中的错误资源，我们要学会判断、学会取舍，挖掘有益的错误资源来优化课堂教学，不要让错误拖累课堂，而要让课堂因错误更精彩。（作者为黑龙江省教育学院小学数学教研室主任）
正确解读与用好学生的错误
■闫勤
让学生的错误坦然公开
特级教师黄爱华执教“3位数乘1位数”一课时，让学生自编一道乘数中间有0的3位数乘1位数算题进行计算，然后在组内交流的基础上每组推荐一位学生参与全班交流。其中，一个小男孩被小组推荐作为代表汇报。
生：704×5=3570。
教师同时板书704×5的竖式，并反问：3570？
其余学生帮助纠正。教师再引导：4乘5——
生：20，写0进2。
师：然后呢？
生：0乘以5等于0，加2等于2，写2。
师：你刚才算得3570，错在哪儿呢？
小男孩有些不好意思：我刚才把0乘5算得5，再加2得7。
教师转而问他所在的小组：为什么推荐他作为代表到全班交流？
学生的回答出乎意料：因为他最小，我们想给他一个机会。
师：哈哈，因为他最小，所以推荐让他交流。那么，我想这位同学是有意出错的，他是为了提醒我们大家。
教师话锋一转，意图显而易见，给小男孩一个台阶，让他错得“体面”。但小男孩并没有顺水推舟，领受老师的好意。他头一歪，很固执地强调：我不是有意出错的。
小男孩的回答，让全班学生和教师都哈哈大笑。
师：啊——哦，那么，你现在再说说，可以提醒大家注意什么？
生：大家在算的时候，不要把0乘5算得0，而要等于5。
全班学生和教师又一次哈哈大笑。学生自己纠正：0乘5要等于0，而不能等于5。学生接着重述计算过程，教师再让该生用红粉笔重新板书乘积十位上的2。
师：这位同学帮助我们把思路理得更清楚了。谢谢！给他掌声。
在掌声中，小男孩高高兴兴地回到了自己的座位上。
上述教学片断，颇具喜剧色彩，真实呈现了一个学生出错、纠错的过程。学生的“坚持错误”，恰恰反映了在这样的课堂中，教师给学生创设了安全而自由的氛围。
错误，是学生学习过程中出现的正常现象。在教学过程中，有些教师常常以自己的处理与想象代替学生真实的学情。而在此过程中，学生也以自己对错误的掩饰，以自己的一知半解蒙蔽了教师，教师也就难以获得真实的教学信息。只有在真诚、安全、自由的氛围中，学生才会像小男孩那样展示“真我”，教师才能获得来自学生的真实信息。
如果需要把学生的错误作为资源加以利用，那么在利用之前，教师要注意与学生的沟通交流。如果在课堂上很唐突地展示该学生的错误，让全班学生都来分析，该学生也许就会产生“全班同学都在批评我”、“我的数学学习很糟糕”等不良想法。这无疑是一种可怕的伤害。说到底，对错误的认识和处理，反映了教师的教学理念、智慧与艺术。
为学生的错误准确把脉
在实际教学中，教师能为学生的错误准确把脉吗？一次，我在二年级听“3位数减3位数”退位减法一课时，目睹了一个学生解题的全过程：
347－251，他先在得数十位上写9，再在个位上写6。
972－85，他先在得数十位上写9，接着在百位上写7，再在个位上写7，然后验算。先写797＋85的竖式，然后在横线下从百位起依次写下9、7、2。凝神看了一会儿竖式，把加数797改为897。紧接着，把前面减法竖式中的差797中百位上的7改为8。后来，教师评讲出示这几题正确算法时，他把差897改为887。
670－273，他先在得数百位上写3，再在个位上写7，然后在十位上写0。后来，教师评讲出示这几题正确算法时，他把得数307改为397。
如果我没有从头至尾目击计算全过程，我会知道这位学生是怎样得到这样的得数吗？我能知晓“正确”背后所掩盖的错误吗？我能了解学生真实的思维过程吗？
教师不能以自己的主观臆断屏蔽学生的真实想法。由此也可以预料，教师如果按照自己的主观诊断对学生的错误进行补救，也就不是“对症下药”，采取的措施也就很难取得预期的效果。
辩证利用学生的错误
我们总是希望学生在学习过程中少犯错误，这是正常的。但是如果期望一点错误也没有，那就不正常了。教师要以开放的心态接纳学生的错误，要善于用“慧眼”与“机智”，对错误善加利用。
同时，对于学生的错误，教师也要防止走向另一极端，即对每一个学生的每一个错误都抓住不放。我们要对学生的错误信息进行分析、分类，系统地处理。如，学生的错误，是否错得具有典型性、集体代表性，倘若只是个别学生的个别错误，一般个别处理即可。犯错后的纠错，不是一蹴而就的过程。纠错，一般要由学生自己完成。教师要组织学生参与找错、议错、辨错，明确错误所在、明晰错误原因。错误，是否作为全班的学习资源，不要一概而论。有的错误，对班级中群体学生来说，是重要的学习资源，有的，却未必是。错误，对于犯错的个体学生来说，也是重要的资源。从学生成长来说，学习中所犯的错误是他们生命成长中重要的财富。我们要允许学生犯错，更要从错误中获得新的启迪。
对学生的错误，要正确地解读；对学生的错误，要辩证合理地利用。不识学生的错，是教师的错；不用学生的错，也是教师的错；用不好学生的错，还是教师的错。（作者为江苏省南京师范大学附属小学校长，特级教师）
学会感谢差错
■华应龙
“小红的房间长4米，宽3.2米。她爸爸准备把南内墙刷上彩漆，这面墙上窗户的面积是2.8平方米。算一算，小红爸爸至少需要买多少千克彩漆？（每平方米大约用彩漆0.4千克。）”前不久，我上六年级总复习课“审题”时用上述这道题考查学生。
学生独立思考、解答之后，我组织全班交流。大多数学生的答案聚焦在：4×3.2=12.8（平方米）；12.8-2.8=10（平方米）；10×0.4=4（千克）。
师（放慢速度）：这个答案肯定是对的吗？
生1（充满自信）：我认为答案不对！因为题目错了！
很多学生都用迷惑的目光看着他。
师（眼睛闪闪发亮）：题目没错！题目没错！
生1：因为题目要求为南墙刷上彩漆，这样就必须知道房间的高，而题目里没有告诉我们，所以我认为这道题没法做。房间长4米，宽3.2米指的是地面。地板上是没有窗户的。
先有学生笑了，接着不少同学眼睛一亮，恍然大悟，然后是全班学生主动鼓掌。
师（微笑）：佩服，真佩服！我有三层佩服。一是刚才大家做试卷时，我巡视发现他只做了第一步，后面没有做，我猜他在认真审题了。二是在大家声音这么高、意见这么集中的时候，他有勇气站起来发表自己的想法，这是很不容易的。三是在老师肯定题目没错时，他敢于坚持自己的观点。好！大家为他鼓掌！
师生热烈鼓掌。
师：这使我想到了一个数学故事。“在茫茫的大海上有一艘船，这只船上装了75头牛，45头羊，请问船长今年多大了？”
生齐笑。
师：你们笑什么？
生2：这好像与船长的年龄毫不相干。
师：“毫不相干”，这个词用得好！可是，当年一位老师到全国各地去搞调查，很多同学这样解答：75＋45=120（岁）。有人想船长的年龄不可能这么大，于是用120÷2=60（岁）。也有人用：75－45=30（岁）。总之90%以上的人都给出了答案，很少有人发现不能做。我们班同学都看出来了，佩服，为自己鼓掌！
学生纷纷为自己鼓掌。
师（指着南墙刷彩漆的题目）：刚才错得真好！让我们明白了审题就是审题目中的数量关系，不仅要审已知量和已知量、已知量和未知量之间有什么关系，还要审它们之间有没有关系。
学生们点点头，心满意足地笑了。
在上述课例中，生1说“题目错了”，其实题目真的没错。对待学生的思维成果，不是着眼在对还是不对，而是应着眼于有价值还是没有价值，价值是大还是小，是现时价值还是长远价值。差错除了具有启发功能外，还具有刺激、教育、醒悟、陪衬、免疫等功能。需要教师练就一双“慧眼”，敏于捕捉，善于发现差错背后隐含的教育价值，引领学生从错误中求知，在错误中探究……正像恩格斯所说：“最好的学习是从差错中学习。”
一节课上，学生做题总是“对”、“对”、“对”、“对”、“对”……那多单调，那多没劲！那还用上这节课干嘛？
我猜想，学生看完题目，稍一分析，心中暗想：“要求重量，先求面积；要求彩漆面积，用南墙面积减去窗户面积；要求南墙面积，用长乘以宽。思路太熟悉了。哈哈哈，这道题送分数给我了！”但当他最后知道答案，也许就会体悟到：“胜利冲昏了头脑，就会功亏一篑。”这样的教学，是教书，更是在育人。育人的价值，往往是暗含的。教育者的意图越是隐藏，效果就越好。
有人可能要说，学生也许并不会这样想。是的，学生可能不是这样的心路历程，但我们的教学应该提供这样的空间。
表扬生1，是事先预设的。只要有学生敢于站起来说“不”，我就表扬。时间允许，我还可能讲讲世界著名音乐指挥家小泽征尔的故事。
一次，小泽征尔去欧洲参加指挥家大赛。决赛时，他正全神贯注地按照评委会交给他的一张乐谱指挥着，突然发现乐曲中出现了不和谐的地方。开始，他以为是乐队演奏错了，就指挥乐队停下来重奏一次，但仍觉得不自然。这时，在场的作曲家和权威人士都郑重声明乐谱没问题，而是小泽征尔的错觉。面对几百名国际音乐大师，他不免对自己的判断产生了动摇，但考虑再三后，他坚信自己的判断是正确的，于是，大吼一声：“不！一定是乐谱错了！”喊声一落，评判台上立即为他报以热烈的掌声，祝贺他大赛夺魁。原来，这是评委们精心设计的圈套，以试探指挥家们在发现错误而权威人士又不承认的情况下，是否能够坚持自己的判断。
独立思考、敢于批判是创新型人才的品质。这样看来，这道容易错答的题，不正是“培养学生创新精神和实践能力”的平台？
让学生自然地出错，不是为了让学生尴尬，不是为了让学生自愧不如，从而心甘情愿地跟着教师匍匐前进，而是为了激发学生自我反省，自我教育，进而走向成功。（作者为北京第二实验小学副校长，特级教师）