第三单元 认识小数
一、教学目标：
（一）知识与技能
1、在现实情境中，能联系分数理解小数的意义，会正确的读、写小数。
2、理解小数的计数单位和数位顺序，知道小数的计数单位及相邻之间的进率。
3、理解并掌握小数的性质，会进行小数的化简，并能正确的比较小数的大小。
4、会把较大的数目改写成用“万”或“亿”做单位的小数。会根据要求运用“四舍五入”的方法求一个数的近似数。
（二）数学思考
1、在学生经历小数概念的抽象和小数性质的探索的过程中，进一步发展数感，培养观察、比较、分析、抽象和概括的能力。
（三）解决问题
1、能主动地收集现实生活中的小数信息，应用小数或近似数描述生活中常见事务的数量。
2、能根据需要，用“万”或“亿”作单位的小数表示生活中常见的大数目。
3、能运用所学知识解决一些简单的实际问题。
（四）情感与态度
1、在探索的过程中，体会小数与日常生活的密切联系。增强自主探索与合作交流的意识。
2、在探索活动中，能独立思考，认真倾听别人发言的好习惯。
3、在探索数学知识和解决实际问题的过程中，获得成功的体验。
二、教材编写特点和教学建议
在一至四年级，“数与代数”领域主要教学整数的知识，学生已经初步掌握了十进制记数法。三年级（下册）曾经教学了一位小数，学生初步体会了一位小数与十分之几的分数间的联系；还教学了分数的知识，学生初步理解了十分之几、百分之几等分数的意义。这些都是继续教学小数知识的必要基础。本单元系统地教学小数知识，将使学生建立比较完善、比较深刻的小数概念，内容分小数的意义、小数的性质、比较小数的大小、把非整万（亿）的大数必定成以万（亿）为单位的小数等四部分编排，表现出四个主要特点：
１．充分利用学生已有的经验，教学小数的知识。这些经验包括以元为单位的小数所表示的金额，以米为单位的小数所表示的长度等，都是学生在生活中已经初步认识了的。这些经验能支持学生理解小数的意义，发现小数的性质，进行比较小数大小的活动，从而实现感性认识到理性认识的飞跃。
２．数形结合，教学小数的知识。小数的意义是比较抽象的数学概念，小数的性质也是抽象的数学规律，小学生掌握这些知识是有一定困难的。如果把抽象的数学知识与具体的图形联系起来，挖掘和利用概念中的直观成分，能有效地降低教学的难度。教材编写时充分注意了这一点，如用大正方形形示整数“１”，它的十分之几、百分之几分别表示成一位小数、两位小数；依托直尺显示几厘米是百分之几米，是零点零几米；在数轴上建立点与相应的一位小数、两位小数的联系……这些都有助于学生领会小数的知识。
３．始终把小数的意义作为教学重点。本单元编排的四部分教学内容是循序渐进的，小数的意义是进一步教学小数性质、比较小数大小的规则、改写大数的方法的基础，后面三个内容的教学又促进了小数概念的逐步清晰、逐渐深化。
４．选择大量有意义的现实数据。如普通食品、常用物品的价钱，我国部分大城市的人口数，反映我国经济发展和科技进步的数据，集知识性、应用性、思想教育为一体。
一．以两位小数的意义为主要研究对像，向前联系一位小数与整数，往后发展到三位小数和四位小数，逐渐形成比较完整的小数概念以及记数方法。
十进分数除了可以写成分母是１０、１００、１０００……的分数形式外，还可以写成另一种形式，即小数。具体地说，分母是１０的分数还可以写成一位小数，一位小数表示十分之几；分母是１００的分数还可以写成两位小数，两位小数表示百分之几……教学小数的意义，要让学生理解并掌握这些关系，这就是学生需要建立的小数概念。
教学小数的意义，要不要从一位小数到两位小数，再到三位小数、四位小数依次逐一进行？教材认为不需要。因为一位小数与十分之几的相互关系在三年级已经教过，不过学生对这种关系只有初步的感受，并不是很清楚。三位小数、四位小数与一位小数、两位不数的意义和读写方法，对三、四位小数具有可迁移性。所以，教材的教学思路是例１重点教学两位小数的知识；例２先把一位小数与两位小数的意义建构在一起，再发展出三位小数。安排的教学方法是，例１中讲解的成分多一些，例２让学生经过独立思考，主动获得对小数的认识。
１．例１从学生的已有经验切入，先教学两位小数的读法，再感受两位小数的含义，学生体会两位小数的意义不是很轻松的。而小数部分的读法与整数部分不同，又是他们初学时感到不习惯的。从有利于教学出发，例题先讲两位小数的读法，再让学生感受两位小数的含义。
例题里设计了三项教学活动。第一项是把0.3元、0.05元、0.48元这三个以元为单位的小数，用元、角、分作单位说出来。这是联系学生的已有经验，既使学生消除对这三个不数的陌生感，又为下面体会小数的意义埋下伏笔。第二项活动是以0.05和0.48为例，教学两位小数的读法。教材在正文里写出“0.05读作零点零五，0.48读作零点四八”，让学生感受小数的读法是从左往右依次读出各位上的数。要注意的是，关于小数的读法是陆续教学的，这里先读整数部分是０的两位小数，在后面的教学中还会继续读整数部分不是０的两位小数以及三位小数。第三项活动是通过“0.05元是１元的几分之几、0.48元是１元的几分之几”感受两位小数的含义，这是例题的教学重点，也是难点。为此，提出三点教学建议：第一，可以先让学生说说0.3元是１元的几分之几，通过对一位小数表示十分之几的回忆，推动对两位小数表示百分之几的认识。第二，有条理地展开“0.05元是１元的几分之几”的过程。１元＝１００分，１元平均分成１００份，１份是１分，１分是１元的１／１００；0.05元是５分，是５个１／１００，是１元的５／１００。至于o.48元是１元的几分之几，可以让学生照这样有条理地思考和表述。第三，提取两个问题的答案，在0.05元是１元的５／１００、0,48元是１元的４８／１００这两个实例中，看到两位小数都表示百分之几，清晰地感受两位小数的意义。
“试一试”让学生把百分之几写成小数，继续体验两位小数的意义，教学可以分三步进行：第一步理解１厘米是１／１００米，１／１００米可以写成0.01米；第二步用米为单位的分数和小数，分别表示４厘米与９厘米；第三步从三个百分之几的分数都能写成两位小数，三个两位小数都表示百分之几，认识两位小数。
１． 例２通过数形结合，建立小数的概念。
在这道例题中建立小数概念包括两点内容：一是分母为１０、１００、１０００……的分数都可以用小数表示，一位小数、两位小数、三位小数……分别表示十分之几、百分之几、千分之几……二是一个数的小数部分有几位，这个数就是几位小数。这两点内容中，前者是重点，教学过程安排成两个层次：先是数形结合，把例１中对两位小数的感知提升成概念；然后把千分之几的分数写成小数，扩展小数概念的外延。
建立两位小数概念的同时，带出一位小数的概念，教材分三步安排。第一步以１／１０、１／１００这两个分数为中介，在图形与0.1、0.01之间建立对应联系。例题里的一个正方形表示“１”，把正方形平均分成１０份、１００份，其中的一份是正方形的１／１０、１／１００。教材让学生看到图形中的一份，把１／１０、１／１００写成小数，学生对0.1和0.01的理解就获得了图形直观的支持，对它们分别表示十分之一和百分之一体验更加清晰和深刻。第二步是“试一试”，先在正方形里涂颜色，带着涂色的感受写出相应的小数，对小数意义的体验更加充实和鲜明。第三步是对上面的活动进行理性化的思考，比较例题和“试一试”里的各组分数和小数，发现一位小数与十分之几、两位小数与百分之几的必然联系，得出与教材中的小卡通相同的认识。
在建立一位小数、两位小数的概念之后，教材安排学生把１／１０００、２９／１０００写成小数并读一读，体验三位小数与千分之几的联系，进一步发展小数的概念。教学三位小数时要注意下面几点：第一，让学生说说把１／１０００、２９／１０００写成小数时的思考，使三位小数的意义清晰。第二，进一步体会小数的读法，应该从左往右依次读出各位上的数。特别是0.001中连续的“０”要一个一个地读，不能只读一个“零”。第三，把一位小数表示十分之一、两位小数表示百分之一、三位小数表示千分之一有机地综合起来，形成完善的小数概念。这样，四位小数甚至小数部分位数更多的小数就不需要一一教学，学生也能知道它们的意义。
把十进分数写成小数，以及说出小数表示几分之几，是建立小数概念的教学活动，第３０页的“练一练”和练习五的前５道题按这样的思想设计。把十进分数定成小数在两道例题里已经多次进行，说出小数表示几分之几安排在练习五的第１、２两题里。前一道题数形结合，把小数的意义用涂颜色的方式表示出来。后一道题提高了要求，直接说出小数表示几分之几。第３题出现了整数部分不是０的小数，教学中不会有困难。
２． 例３教学数位顺序表，进一步理解小数的意义。
整数和小数都使用十进制记数法。学生在四年级已经知道整数是十进制记数法，本单元的例３教学的第一点内容是小数也使用十进制记数法。十进制记数法的本质特征是“相邻两个计数单位间的进率是１０”，例３分两步教学这一点：首先是１（整数部分个位的计数单位）和0.1（小数部分最高位的计数单位）这两上相邻计数单位间的进率是１０；然后是0.1和0.01、0.01和0.001相邻计数单位间的进率也都是１０。教学１和0.1的关系是比较难的，要在“举例说说”上给学生具体的指导，让他们联系已有的知识经验来体会这两个计数单位间的进率。把１和0.1都看成相同单位的数量，如１元和0.1元，１米和0.1米是一条体会的渠道。把１和0.1在正方形图上表示出来，也是一条体会渠道。教材中呈现各个小卡通交流的场面，指出了这一段内容的教学方法。学生经历了这些体会过程，就可以用类似的方法继续理解0.1和0.01、0.01和0.001的关系。
例３的第二个教学内容是小数部分的数位顺序和计数单位，整理出数位顺序表。小数部分的数位顺序和计数单位，让淡生在一位小数、两位小数、三位小数的基础上有意义地接受。一位小数的小数点右边有一位，这一位是十分位；十分位上的数是几表示几个十分之一，十分位上的计数单位是十分之一（0.1 ）.两位小数的小数点右边有两位，右边第二位是百分位；百分位的计数单位是百分之一（0.01）……教材把数位顺序表留给学生填写。其中整数部分已经写了的个位及计数单位，能引起学生对整数数位顺序的回忆。小数部分写出的两个数位及计数单位，体现了前面教学的数位顺序，学生能够继续写出其他数位及计数单位。把数位顺序表填定完整后，可以围绕下面两点组织练习：一是数位的排列顺序和各个数位的所在位置。如顺序表里整数部分的数位从个位起往什么方向排列，小数部分呢？又如小数点左边第一位是什么位，右边第一位呢？再如百位和百分位分别是小数点哪边的第几位？二是相邻两个计数单位间的进率。如整数部分，１个千是几个百？１０个十是几个百？又如小数部分的0.1是几个0.01；10个0.001是几个0.01？再如个位与十分位的的计数单位，1里面有几个0.1，10个0.1是多少？
“试一试”和“练一练”是为了巩固数位顺序和计数单位的知识，进一步理解小数的意义。练习五第3题和第6题里出现了整数部分有两位的小数，要指导学生正确地读、写这样的小数。
二．教学小数的性质，突出对性质的体验。首先体验性质的合理，然后体验性质的应用。
小数的性质是小数概念的重要内容之一。教学小数的性质，能使学生进一步理解小数的意义，又为教学小数四则计算作必要的知识准备。教材分两段教学小数的性质，第一段是理解性质的内容，第二段是应用性质改写小数。
1．让学生在许多事实是里体验小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
教材里的小数性质，不是直接告诉学生的，而是让他们在数学现象中体验并发现的。这样的体验，不是一次、两次，而是多次。有些安排在得出小数性质之前，有些安排在得出小数性质之后。
例4通过比较“橡皮与铅笔的单价相等吗”这个实际问题，抽象出比较0.3元和0.30元的大小这个数学问题，联系小数的意义，得到0.3=0.30。紧接着例4的“试一试”，看图比较0.1米、0.10米和0.100米的大小，由1分米=10厘米=100毫米得到0.1=0.10=0.100。例4和“试一试”为小数的性质提供了具体的感性材料，教材支持学生独立思考得到这两组等式，增强对等式的感受，体验等式的合理性，从而发现小数的性质。
例5是为了进一步理解小数性质的内涵而设计的，着力于对小数“末尾”的理解上。情境中的食品价钱都是以元为单位的小数，各个小数里都有“0”，有些“0”在小数的末尾，有些“0”不在小数的末尾。让学生在判断“哪些0可以去掉”时，专注地识别小数末尾的“0”从而准确理解和把握小数“末尾”的含义。在这道例题中学生还能体验到，去掉小数末尾的“0”不改变小数的组成。如2.80元是2元8角，2.8元也是2元8角；2.80是2个一和8个十分之一，2.8也是2个一和8个十分之一。从而确信小数的性质是合理的。
第35页“练一练”是发现小数性质以后使用的，两道题都数形结合，加强学生对小数性质的理解。其中第1题通过0.1 和0.10、0.2和0.20、0.3和0.30……每组里的两个数对应于数轴上的同一个点，又一次证实小数的性质。第2题通过涂色时的感受，体会0.6和0.60的大小不同，0.6和0.06的大小不等。让学生清楚地看到，如果添上或去掉的“0”在小数末尾，不会改变原来数的大小；如果添上或去掉的“0”的小数末尾，不会改变原来数的大小；如果添上或去掉的“0”不是小数末尾的0，小数的大小随之发生变化。
2．让学生通过改写小数，体验小数性质的应用。
应用小数的性质，去掉小数末尾的“0”化简了小数，在小数末尾添上“0”增加了小数部分的位数，都是在不改变小数的大小的前提下进行的。教材让学生在改写小数的活动中，获得这些体验。
第35页“试一试”，不改变数的大小，把三个数都写成三位小数。这三个数中有一位小数0.4、两位小数3.16和整数10。把改写这些数安排在“试一试”，是锻炼学生应用知识解决问题的能力。在学生改写以后，要抓住三点进行交流：一是改写这三个数时应用了什么知识？二是为什么给三个数添上的“0”的个数不同？三是“10”是整数，怎样在小数的末尾添上“0”？
练习六的第1～5题是围绕小数性质设计的。第1、2两题巩固并溶化对小数性质的理解，突出去掉或添上的“0”必须是小数末尾的0。第3、4、5题都是应用小数的性质改写小数，，其中有去掉末尾“0”化简小数，也有在末尾添“0”增加小数部分的位数；有改写小数，还有改写商品的单价。这些练习题使学生在应用中掌握小数的性质。
三．比较小数的大小，淡化统一的法则，鼓励个性化思考。
学生已经掌握的比较整数大小的知识，有些可以应用于比较小数的大小，也有些需要在认识上作必要的调整。如，在整数中，位数多的数一定比位数少的数大（四位数大于三位数）。而在小数未必一下如此（三位小数不一定比两位小数大）。因此，从比较整数的大小到比较小数的大小，不是单纯的认知同化和方法迁移。
以前教学比较小数的大小不一，重点是比较的法则，教材里列出若干点方法与规则，要求学生理解和应用。本单元反比较小数的大小作为小数概念教学的一部分，比较时的思考是根据小数意义展开的，并通过比较大小进一步充实小数的概念。这部分教材设计在三个层次。
1．详细地展开比较的过程，鼓励方法多样化。
这个层次里教学例6和它下面的“试一试”，有一位小数与两位小数的比较、两位小数与三位小数的比较，也有整数部分不是0的小数相比较。教材鼓励学生按自己的思路去比，在例6里可以联系实际数量，比0.6元与0.48元的大小。可以把0.6和0.48变成相同计数单位，比含有单位个数；喜欢形象思维的学生，可以在相同的正方形里分别表示出0.6和0.48，看谁的图形大些。如果学生使用其他方法虽然不同，本质上都是根据小数的意义展开思路的，学生在完成比较小数大小不一这个学习任务的过程中，小数的概念得到了加强。教学“试一试”也要让学生在交流中暴露自己的思考，鼓励他们创新。如7.90比8小，8.32比8大，所以7.90<8.32。这样，比较小数大小的方法就不是教材或教师告诉学生的，而是他们自己建构的。
2．在比较大小的练习中，压缩思考过程，掌握比较要领。
在这个层次里要完成“练一练”和练习六第6～９题。学生在上一个教学层次里，初步接触了比较小数大小时经常遇到的一些情况，并详细地体验了比较的方法。这个教学层次，要应用初步获得的经验，通过一定数量的练习，进一步体验比较的方法，掌握比较大小的要领。练习的题量比较大，要从中选择一些题，让学生说说“应该抓住哪一点进行比较”。如比较２元和1.9元，只要想1.9元不满２元。又如比较3.45米和3.54米，只要想４个十分之一小于５个十分之一。再如比较36.9千克和37.4千克，只要想３６<３７。这样的练习，能引导学生压缩思考过程，体会比较的要领，培养思维的灵活性和敏锐程度。
３．在开放的问题中，发现并掌握一些规律，提升比较小数大小的能力。
练习六第１０题，在7.31> .4的方框里可以填０、１、２……６…等数，通过填这些数，学生可以发现：两个小数中，整数部分大的那个数比较大。在0.542<0.5 3的方框里，学生可能先想到的是填５、６、７、８或９，于是发现：如果两个小数的整数部分相同，十分位上的数也相同，百分位上数小的那个小数比较小，学生还会想到方框里还能填４，这时，他们把刚才的发现又发展了一步。练习六第１１题把组成的６个两位小数按大小顺序排列到表格中，学生又一次体验了在第１０题的发现。这些发现就是比较小数大小的一般法则，掌握这些法则，就能迅速比较小数的大小，正确作出判断。
四．联系学生已有的知识，教学改写较大的整数和求小数的近似数。
学生已经能够反整亿、整万的数改写成用“亿”或“万”为单位的数，并体会了这些改写方便读数和写数，有助于理解较大数的意义。他们还初步学会了用“四舍五入”的方法求整数的近似数。本单元的例７，要把非整万、非整亿的数改写成用“万”“亿”作单位的数。例８教学求小数的近似数。新旧知识有密切联系，已有的改写较大整数的经验和求近似数的方法，都可以应用于新知识。新旧知识也有不同的地方，在改变数的单位和求近似数时，还要应用小数的意义和性质。因此，教材既充分利用学生已有的知识经验，又突出新旧知识的不同。
１．改写较大的整数，先教学思考与方法，再教学特殊情况的处理。
例７以行星之间的平均距离为教学素材，所出现的较大整数都是有意义的数。意义在于学生有兴趣，能丰富他们的科学知识。而且感到这些数比较大，读与写都不大方便，乐意改变这些数的单位。教学分三个层次进行。第一个层次把３８４４００改写成用“万”作单位的数，在这个层次里着力教学改写时的思考，并得出改写的方法。３８４４００是一个较大的数，通过读数能够知道它是３８个万和４４００个一组成的数。所以，用“万”作单位表示这个数时，“３８”应该是整数部分里的数，“４４００”应该是小数部分里的数。教材给３８４４００里的“４４００”和38.44里的“４４”加上同样的色块，显示了这一思考过程，从而得出改写的方法：在万位的右边点上小数点。至于改写后的灵敏要用“万”为单位，以及根据小数性质化简，都是学生能够解决的，教材不作过多强调。第二层次是把１４９６０００００改写成用“亿”作单位的数，在上一层次“扶”的基础上，这里采取了“放”，让学生完成改写。教材只是通过问题“在哪一位的右边点上小数点”提示改写的方法。教学的时候要注意两点：一是抓住“为什么在亿位的右边点上小数点”组织学生讨论，理清改写时的思路。二是组织两个层次的改写的比较，找到它们的相同点与不同点，使学生全面掌握改写的方法。第三个层次是第４０页的“试一试”，把５７９１００００改写成用“亿”作单位的数，小数的整数部分是０。这是改写时遇到的特殊情况，教材让学生在改写中遇到矛盾并想办法解决它。可以让学生从两个角度去体会：一是这个数比１亿小，改写成用“亿”作单位的数，整数部分应该是“０”。二是这个灵敏的量高位是千万位，在亿位的右边点上小数，缺少整数部分，应该用“０”补足，使写出的小数完整。“练一练”里把４６４１１、４４７６、１４３３、４０９等数改写成用“万”为单位的数，让学生继续练习对上面情况的处理方法。特别是４０９的改写，不仅要添整数部分的“０”，还要在十分位上写“０”。
２．求小数的近似数，教学的着力点放在理解精确程度上。
学生已经具有求整数的近似数的能力，初步会应用“四舍五入法”。例８的教学内容首先是理解近似数的精确程度，即理解“精确到十分位”“精确到百分位”的含义。教材通过“精确到十分位要保留几位小数”这样的问题，引导学生联系有关的小数概念，体会近似数的精确程度：十分位是小数点右边第一位，精确到十分位就是保留一位小数。对“精确到百分位”，也采用了相同的教学方法。然后是用“四舍五入法”写出近似数，教材在尾数的最高位上加色块，指导喾天求近似数时“要看小数的哪一位”，便于“四舍”或“五入”。例８的第三点教学内容是，近似数1.5和1.50“哪一个更精确一些”，这是让学业生体会精确程度。1.5保留了一位小数，1.50保留了两位小数，精确到百分位比精确到十分位的精确程度高。虽然1.5和1.50从小数性质的角度上看，大小是相等的，但在精确度上看，它们表示了不同的精确程度。所以，，近似数1.50末尾的“０”一般不能去掉。