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学习起点存在于学习的各个阶段 本报记者 张学军 摄
·学习起点存在于学习的各个阶段
■杨豫晖
三位教师的三种应对策略
【案例1】一位教师讲“长方体和正方体”单元中“体积单位间的进率”的内容，本作好了充分准备，即依据教材呈现的线索和问题情境引导学生逐步发现体积单位间的进率关系。然而，教师刚揭示出课题，不少学生便立即背出：1dm3=1000cm3，1m3=1000dm3。有些学生还告诉教师自己已经把教材上的填空题都做完了。看见这种情形，教师判断学生已经会了，便立即决定把新授课改为练习课。
【案例2】小学六年级“分数乘分数”的内容对于学生来说不容易理解，对于教师来说也不容易设计教学。在整个学习过程中，画线段图是一个重要的学习策略。某节课中，教师发现学生用线段图表示2/35时碰到了麻烦，因为分母大，练习本似乎“容”不下，便决定训练学生画线段图。该教师先要求学生用线段图表示分数3/4。
师：请你标出3/4。（学生介绍方法）
师：画4厘米的线段，分4格，1厘米就是1格，对不对？…是否能画1米？是否能画4毫米？（有学生说“可以”，教师不理会。）
【案例3】五年级“分数的意义”一课上，教师发给学生各种学具，要求他们表示“1/4”，几乎所有的学生都先把学具平均分成4份，取其中的1份，这1份就占整个学具的1/4，他们也能表述这个过程。仅有一个学生与众不同，他用学具摆出了一个“1/4模型”，即将3个圆片排成一排作分数线，1个圆片置于分数线上方作分子，另4个圆片置于分数线下方作分母。教师在巡视时发现了这份“特殊”的作品，便把这个孩子叫到讲台上。教师的表情非常严肃并很清楚地“哼”了两声，下面的学生在笑。
上述3个案例描述了小学数学教师在学生的学习起点与教材、教师预设发生矛盾时作出了怎样的应变决策。笔者认为，三种应变决策都不尽合理。
应变决策失误的原因
通过课后访谈，我们了解到案例1中的教师把新授课改为练习课的应变决策是基于学生能够背出进率公式并且还能初步计算。案例2中，教师“不予理会”的应变决策是基于教师有一个很明确的倾向，即所画线段图的具体格数与分数的分母要绝对对应，而且要明确画出来，比如4/45要明确画45格。所以，在训练学生画线段图过程中，教师的关注点在实际使用的长度单位选择上。案例3中，教师对学生进行“软批评”的应变决策是基于这样的认识：学生应该按照老师的要求（预设）做，而这个学生不按照老师的要求做，如果教师表扬这样的学生就会误导其他学生。
案例1中，学生会说出计算公式，或者能计算一些具体的题目，就一定说明他们已经会了吗？课后，当我们询问学生：怎样推算出这些换算公式，长度、面积、体积单位换算进率存在怎样的区别和联系？他们的脸上却显露出茫然的表情。案例2中，教师不理会学生的困惑“为什么不能选择米或毫米”的应变决策，是引领学生误入“为画而画”的歧途，而非“因画而思”导出利于解决问题的良策。案例3中，我们暂且不论教师的要求是否表述得清晰，学生难道不可以有自己的思考和独特的情感体验吗？我们认为，案例1的决策失误在于教师在确立学生学习起点时只考虑了知识技能因素。而案例2中，学生认为也可以通过画4米或者4毫米的线段图表示3/4，恰恰说明学生此时居于较高的学习起点，至少潜意识感觉线段图的具体长度及长度单位选择并不是画线段图的本意。该教师的决策失误首先在于没有意识到此处的起点问题。其次，教师也没有深刻理解画线段图的本意。案例3中，学生摆出1/4，虽然不能说有多大创意，但至少是独特的，教师应该给予恰当鼓励，其决策失误在于教师没有意识到学生学习起点也包含情感态度因素。
3个案例揭示的现象在小学数学课堂教学中并不少见，归根结底在于教师对学生学习起点的认识存在误区。首先，教师们通常认为在一节课的教学导入环节才存在学习起点的问题。其次，教师们认知和决策行为中的学习起点仅仅包括知识技能因素，因而他们主要关注孩子们的外在表现行为，认为学生能直接说出某些结论性话语或会做某些题目，就表明他们具备了相应的知识技能，而忽略了这些静态知识所包含的动态思维过程和解决问题的方法，以及学生在这些过程中所能获取的数学情感体验和基本的数学经验。
事实上，小学生数学学习起点的问题存在于教学的各个阶段，起点的内涵至少包含三个维度：知识技能、过程方法（数学思考、解决问题）、情感态度，这与数学新课程的基本理念是一脉相承的。3个案例中的教师分别忽略了过程方法和情感态度因素、知识技能和情感态度因素以及情感态度因素。
应变决策的合理性
通过上述3个案例的呈现、分析和归纳，我们不难知道，合理的教师课堂应变决策是有效解决学生学习起点与教师、教材预设矛盾的关键，从而能够使课堂呈现不同的精彩。
总结起来，应变决策的合理性主要体现在以下几个层面：学生学习起点存在于数学学习的各个阶段；应从知识技能、过程方法和情感态度三个维度综合考虑学生学习起点问题；不仅关注学生的外在行为表现，更关注承载学生数学思考和情感态度的实际思维过程；不仅关注学生是否会做题，更关注学生是否在做题的过程中积累了基本的数学经验。
（作者为西南大学数学与统计学院博士生）
·有过程的教学促进高水平的理解
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■刘加霞
常听一线老师诉苦说：现在的学生真难教，水平参差不齐。的确，在学习新知识前，学生早已不是一张“白纸”。作为教师，该怎么办？
知道事实不等于真理解
面对学生已经知道“答案”时，我们需要追问：有多少学生知道答案？有多少学生真正理解要学习的内容？
例如，对于“长方体的体积=长×宽×高”，如果学生通过背诵记住这一公式，那么他获得的知识仅仅是“事实性知识”。
如果学生通过拼摆单位小正方体而得到“大长方体”的体积就是单位小正方体的个数，即数小正方体的个数就能求出长方体的体积，但是“数”比较麻烦，再进一步发现大长方体的体积是“长×宽×高”，这时他对长方体体积公式的理解就达到“概念性水平”。
如果学生能进一步深入分析，就会发现长方体的体积与长方体的一个面的面积以及对应这个面的高有关。在教师的引导下，学生综合应用所学知识，得出长方体的体积还可以通过“一个面的面积乘以这个面所对应的高”来求出，这时学生对该公式的理解就达到了“方法性水平”，因为这个公式不仅仅适用于长方体而且适用于一切柱体。学生不但了解了公式产生的来龙去脉，并且能在所涉及的概念与概念之间，以及概念与已有的经验之间建立起联系，并能根据不同的条件灵活选择公式解决问题。
在此基础上，学生还能进一步解释“长方体的体积等于一个面的面积乘以这个面上的高”吗？在教学中，有个学生这样回答：我把长方体看成是“底面”这样的小薄片一片一片垒起来的，那么长方体的体积不就是这个“小薄片”的面积乘以垒的“高度”吗？这名学生所获得的知识就已经达到了“主体性水平”，他所获得的这一知识，是通过反思“创造”出来的。
学生学习数学时，往往停留在“事实性水平”的理解上。在教学中，我们必须辨别出学生的理解所达到的程度，设计恰当活动促进学生对知识的高水平理解。
有过程的教学促进学生高水平的理解
“数学是系统化了的常识。”小学数学中的很多概念都蕴含了朴素的数学思想，基本上都来源于学生的生活经验。从理论上说，学生认识这些朴素的思想应该很容易，但为什么学生学习“课本上的数学”就有很多困难呢？
原因主要在于数学的学科定义高度概括、抽象，教材不易呈现其形成与发展的过程，直接学习现成的结论不符合小学生的思维水平与认知特点。因此，弗罗登塔尔认为“教材是教学法的颠倒”。如果教师的教学没有过程，而只是简单的模仿、记忆、背诵、训练，则容易使学生的理解仅仅处于事实性水平。
教师无过程教学的根源主要有两点：一是缺少追问学科概念的本质，二是没有真正了解学生的思维特点与已有的知识经验储备。对于前者，我们强调教师追问为什么学习这些内容、所学习内容的核心是什么、如何建立联系；后者主要包括学生的生活概念、学生的思维水平与认知特点及学生已有的知识储备。当教师对这两个根源有深入的思考后就能设计出有过程的教学。
设计有过程的教学，需要教师关注数学概念、思想的本质以及发展的历史本源，关注其形成、发展的原始动力，关注学生朴素的问题与思维过程，关注学生的生活概念、经验与数学概念之间的本质联系与区别，关注学生的思维过程，利用思维过程中的冲突、质疑与障碍使学生获得高水平理解力，激发学生学习的愿望与动机，体会到创造的乐趣。
下面是一位教师教学“减法的初步认识”时发生的主要事件，该课就是一节过程充分的课：
教师先利用电脑动画设计了一个停车场的情境，学生很快发现了信息并提出了问题：停车场原来有5辆小汽车，开走了2辆，问停车场还剩几辆小汽车？学生顺利地列出算式并计算。教师请学生利用手中的学具，自己动手创造一个用减法解决的问题，并列式解决。这一环节的设计目的是让每个学生都亲历减法意义的感知过程，并板书出学生所出现的各种不同的减法算式，为后续观察、比较、总结减法的意义作素材准备。
但在交流汇报时，一个小女孩到实物展台前，一边演示“小水果”学具，一边介绍自己刚才的操作过程：“我本来拿了5个小水果，送给同桌2个，问我还剩几个水果？我列的算式是5-2=3。”话音刚落，另一位男孩喊到：“怎么还是5-2=3啊？重复了！不能写到黑板上。”展台前的女孩不服气地为自己辩解：“我没重复，这次不是汽车，是水果。”坐在下面的男孩竟站起来反驳：“反正你的算式是5-2=3，还说不重复？”女孩一脸疑惑地看着教师。
教师首先请学生发表自己的看法，大部分学生同意男孩的看法，但也觉得女孩说得有道理，辩论不出结果。这时教师问：“你还能想一件‘事情’，也用5-2=3来表示吗？”孩子们的思维活跃了起来，编出了很多的情境。例如：教室有5个小朋友，走了2个，还剩下3个。草地上有5朵小花，被小朋友摘走了2朵，还剩下3朵。5支铅笔，丢了2支，还剩3支……这时刚刚发完言的一个学生不肯坐下：“我还能说这样的好多事呢，都可以用5-2=3表示，5-2=3的本领真大呀！”
教师继续捅破“窗户纸”：“有的事情发生在停车场里，有的事情发生在教室里。为什么完全不一样的事，却能用同一个算式来表示呢？”学生们终于发现，虽然事件不一样，但同一个算式所表示的意思都是一样的。这时，教师趁热打铁，又问：“3+6=9可以表示的事情多不多？那就一个数‘8’都可以表示什么？”学生脱口而出：“那太多了！”看到孩子们意犹未尽的样子，教师又问：“你现在有什么想法？”其中一个学生说：“我觉得‘数’和‘算式’都太神奇了，能表示那么多不同的事物。”
小学生对所学知识不能都达到高水平理解
由于数学的学科特点及小学生的思维特点、生活经验，学生对所学习的内容不能都达到高水平的理解。我们应该允许学生先处于事实性水平的理解，随着经验的增加、思维水平的提高，逐步对所学内容达到高水平理解。
小学阶段所学习的数学概念有一些是“高通达力”的概念，即不是教师能教会的，理解这些概念需要学生认知水平的提高。例如，分数、字母表示数、正反比例关系、方程、极限、平均数等概念和思想。学习这些概念时，我们应当适当允许学生在理解上的反复，因为要达到高水平的理解既需要教师设计有过程的教学，也有待学生年龄的增长。教师能做的，就是提供有价值的问题或任务，促进学生的思维投入，而不是把现成的知识灌输给学生。
（作者为北京教育学院数学系副教授） |
·从学生的现实起点出发（图）
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方法一 方法二
■郭立军
在学习新课之前，学生已经会背公式或已经掌握计算法则这样的现象越来越普遍。学生数学学习中的现实起点与教材预设不一致这一矛盾主要体现在以下几个方面：学生已经理解了基本概念但不知道概念的来龙去脉；学生已经掌握了知识上的基本程序，但不一定理解；学生的思路与教师或教材的思路不一致但正确；学生对于该内容的理解有障碍，等等。这就要求教师作深入的学生调研，真正了解学生，从学生的现实起点出发，调整教学预设。
调研学生的学习需求
由于学生的个体差异，他们的发展需求也不尽相同。因此在备课时要格外关注学生的学习需求。如在学习“百分数的意义”前，我通过调查问卷发现有57.1％的学生想了解百分数的意义，58.9%的学生想了解百分数的作用。因此，在完成教材中确立的百分数意义概念这个教学重点之外，我增加了一个新的教学重点，即让学生经历和体验百分数存在的价值。这样，就可以在教学中做到有的放矢。
研究学生的理解程度
在教学“两位数乘两位数”时，已经有不少学生掌握了计算法则。面对这样的情况，可以了解有多少学生掌握了这一法则，他们的思维水平如何。
我对还没学习这部分内容的学生进行了一次前测：你能想办法计算出32×12等于多少？有68.75%的学生能够利用已有知识和经验来解决问题。分析他们采用的方法，进而了解学生的思维方式，可以得出下面的结论：采用竖式计算的方法说明这个学生可能已经提前学习；采用累加这种非常朴素的方法计算说明这个学生对于乘法概念的本质有所把握；而采用转化成乘数是一位数的乘法方法计算的学生，说明他会学习。通过实际操练，笔者有这样的感叹：计算教学除了让学生掌握法则、理解算理外，还能让他们获得模型的支撑及转化的思想、数形结合的思想和图表的意识。
调研学生的思维状况
调研学生的思维状况，主要关注学生的已有知识基础如何，已有经验如何，已有经验与新知识的结合点在哪儿，思维基础如何。
在教学“圆的面积”时，为了了解学生对圆面积公式的认知情况，一位教师作了前测调研：你认为圆面积公式可以怎样推导？有近50%的学生对圆的面积已经产生了兴趣并根据自己的思考有了一些困惑。有40%以上的学生对于圆面积求解的方法有了自己的思考。想法和教材相同的学生只占全班的11.1%。
在实际教学过程中，主要有两种不同于教材的推导方法。如下图：
方法二为学生后面学习高等数学奠定了深厚的基础。这些方法虽然在教材上不曾出现，但它们的价值是深远的。学生在圆面积公式的探索中，不仅思路开阔，而且获得了思想方法，他们在不断学习的过程中对于圆的认识和感受更是不断深入。
研究学生的学习障碍
学生在学习过程中出现了问题，研究其学习的障碍是非常有必要的。
在进行“厘米的认识”的教学时曾出现了以下两个问题：
问题1：测量时，把被测物体的左端与0刻度线对齐，被测量物体的右端对准10，从0到10共有11个数，所以被测物体的长度是11厘米。
问题2：测量时，把被测物体的左端和1对齐，被测量物体的右端对着11，所以被测物体的长度是11厘米。
出现这两个问题与学生多年来的计数方式有密不可分的关系，我们在计数时总是从“1”开始，而不是从“0”开始，所以学生在测量时认为被测物体的左端应该和1对齐。
结合前测和课堂中出现的问题，我们不难得出：对厘米的认识不等于对尺子的认识，学生需要建立1厘米的深刻表象。
在教学过程中对厘米的认识的具体环节如下：1.建立1厘米的表象（每组有若干根）。2.建立若干厘米的表象。3.测量照片的长边，体会测量的标准一致了，但小棒容易滚动。4.测量数学书的长边，体会小棒不滚动了，但不容易看出结果。
这样学生不仅对厘米有了深刻的认识，而且经历了知识的形成过程。
鼓励学生独立思考
当前，开放式、探究式的教学方式已被广大教师所接受，教师们对三维目标有了不断深入的认识，因此在教学过程中更加重视学生的独立思考。以“鸡兔同笼”这一教学内容为例：鸡兔同笼,有20个头,54条腿。问鸡、兔各有多少只？
面对这样的题目，学生反馈的思路常常有列表法、画图分析、假设法等。但一个学生经过独立思考后，提出了一种不常见的做法，代表了一种奇特的解决问题的思路：
54÷（4＋2）＝9（对）（假设1只鸡和1只兔为1对，54只脚可以有9对）
20－9×2＝2（只）（20个头去掉9只鸡和9只兔的头，还多出2个头）
2×2=4（只）（在保证腿数不变的情况下把2只兔换成4只鸡，头就不多了）
鸡9＋4＝13（只）（9只鸡再加上换进来的4只鸡，就是鸡的总数）
兔9－2＝7（只）（9只兔减去换走的2只兔，就是兔的总数）
这样的解法不经过独立思考就出现的可能性比较小。因此在教学过程中，建议教师们先让学生独立思考，鼓励学生的创新思维。
（作者为北京市海淀区教师进修学校小学数学教研室主任） |
·找到教材与学生之间的平衡点
■魏华
很多时候，教材对知识的预设与学生的知识起点并不一致，教师不能忽视更不能回避这种差异。这需要我们在教学中，找到教材与学生之间的平衡点，处理好学生、教学、教材之间的关系。
让学生求甚解，会质疑，能验证
对于一些教学内容，很多孩子通过家庭学习或校外辅导已经有了一定的认识。受这两种学习方式的限制，学生很难对所学内容充分理解，多数只能做到“知其然”，这样学得的知识是机械的、浅层次的，而数学课的教学就是要把学生的数学学习引向深入，让学生求甚解、会质疑、能验证。
例如，在教学“圆的周长”之前，很多孩子都知道了周长公式，甚至会用公式去计算周长。但是通过追问，往往会发现，绝大多数学生对这部分知识的认识仅仅是了解而已，并没有达到教学要求中的理解与掌握。在教学设计时，我没有像教材中安排的那样直接让学生想办法测量圆的周长并找出周长与直径的关系，而是在画圆的基础上让学生猜测圆的周长会与哪些因素有关。有的学生认为与半径有关，也有一些学生能直接提出周长是直径的3.14倍，接着我对学生的回答提出质疑：你们的猜测对吗？你能验证吗？你想用什么方法验证？这样，既没有回避学生的已有知识，又将矛盾抛给学生，让学生愿意亲手试一试，同时也避免了学生在测量圆的周长时直接用3.14去乘以直径，而是通过自己的操作真正找到或验证周长与直径和半径的关系。
重视数学思想渗透、方法培养
数学教学不仅仅需要教授知识，更需要对学生进行数学思想的渗透和解决问题方法的培养，而学生的知识起点往往忽略思想和方法，这正是我们的数学课堂教学中需要重点关注的。
如在“字母表示数”的教学中，很多学生知道可以用字母表示一定的数量，表示未知数，能够轻易地完成书中的用字母表示数的练习。但这节课需要处理的远不止这些，在教学中不断渗透符号化思想和函数思想是必不可少的。
在教学过程中，我先让学生想办法表示大量的1配1的课桌椅，学生能够利用生活经验，采用多种方式表示，有的学生用了无数张桌子、无数把椅子，有的学生用字母x表示桌子和椅子。接着我又出示了由一组到许多组的1桌配4椅的图片，请学生想办法表示，这时学生开始思考，开始对以上的一些方法加以分析、选择。出现了这样几种方法：（1）许多，4倍的许多；（2）x，x；（3）x，y；（4）x，4×x。
有了这些方法后，我提出两个问题：认真观察每种方法，你认为哪种方法更能表示图中的内容？通过思考，绝大多数学生认为x和4x更能表示桌椅的情况。我又追问：你觉得“x，4x”这种方法和其他方法比较有什么优势？通过对几种方法的认真分析，学生深刻体会到了用字母表示的必要性和优越性：简洁，能表示数量，还能表示数量间的固定关系。
通过上面的环节，学生能够切实感受到用字母表示数可以表示很多数量，表示数量间的关系，但学生的认知水平仍停留在字母只能表示一个数，或者是一个未知数的水平上。这时，需要让他们感受到字母表示数更深入的用法。
在学生通过研究讨论认识到用x和4x可以表示很多的1配4的桌椅后，我提出了新的问题：你觉得x和4x在这里都能表示哪些情况？学生的回答都是表示很多桌子、很多椅子，或者无数桌子、无数椅子。这时，我对照着黑板上列出的表格帮孩子引了一条路：可以表示桌子是1张时椅子是4把，还可以表示什么？还可以表示多少种情况？学生恍然大悟，原来不仅可以表示不知道的数量，还可以表示知道的数量，可以表示桌椅数量的所有情况。于是学生水到渠成地分析出：可以表示2张桌子时2×4把椅子，3张桌子时3×4把椅子，可以表示无数种情况。
通过这个环节的处理，学生对用字母表示数的认识提高了一个层次，感受到了字母还可以表示广义的数。
而当学生知道可以用x和4x表示桌椅1配4的关系后，我将x和4x从桌椅的情境中剥离出来，通过举例、分析的方式，让学生感受到用同样的字母能够表示出各种不同事物间存在的相同关系。学生举出了很多例子：如一辆小轿车有4个轮子，x辆车就有4x个轮子；一千克苹果需4元钱，x千克苹果需4x元钱；行走速度为4千米/时，x时走4x千米，等等。这样，可以放宽学生的思路，感受到字母表示数的更多用法。紧接着我出示了问题：今年学生10岁，老师30岁，要求学生用字母表示出师生的年龄。这个例子中，绝大多数学生都只看到了今年师生年龄是3倍的关系，用x与3x来表示师生年龄，并没有想到在师生年龄变化中一直不变的是什么。但当有学生给出了x，x＋20的表示方法后，其他学生才恍然大悟，x和3x只能表示今年老师和学生的年龄，而不能表示所有的情况，不是两人年龄的内在关系。学生也从而明白了用字母表示关系时，不能只看一组数据的表面关系，要找到适合所有情况的内在联系。这一环节，让学生切实体会了要在变化中寻找不变关系的函数思想。
适当调整教材知识呈现方式
有时候，教材中的情境不足以实现本课的教学目标，或者不能满足学生的学习需要，则需要教师适时适度地调整教材中知识的呈现方式，以满足相应的教学需求。
例如，乘法分配率是学生学习中的难点，教材希望学生经历探索的过程，发现乘法分配律，并能利用乘法分配律。但实施过后，学生很快就学会了用字母表示的方式替代了这个情境。从表面上看，学生通过自己的活动得出了分配律，但事实上，很多学生在应用分配律计算时会出现这样那样的问题，如丢项缺项、用错项，等等。其实，要让学生真正理解、掌握、正确应用乘法分配律，不仅需要一个探索的过程，更需要让学生把抽象的算式与探索的过程有机结合起来。我们不必拘泥于教材，可以把教材中的知识呈现方式稍加改变，让学生在学习之初看到算式，就能在头脑中形成一种对应的形象帮助思维，而这种形象越简单越好，越明了越好。
（作者为北京师范大学附属实验小学教师）
《中国教育报》２００９年２月２７日 |